Stamoulis Publications Home Page

Ηλεκτρονικό βιβλιοπωλείο
εκδόσεις βιβλίων

Πατήστε εδώ για να μεταβείτε στην αρχική σελίδα των Εκδόσεων Σταμούλη Πατήστε εδώ για να εγγραφείτε στο e-shop και να κάνετε τις αγορές σας Είσοδος Πατήστε εδώ για να δείτε τη λίστα με τα προϊόντα που έχετε αποθηκεύσει Πατήστε εδώ για να τροποποιήσετε στοιχεία του λογαριασμού σας. Επικοινωνία
Αρχική Εγγραφή Είσοδος Λίστα Λογαριασμός Επικοινωνία
 
Αναζήτηση Σύνθετη Αναζήτηση
το καλάθι περιέχει
0 προϊόντα 		Πατήστε εδώ για να δείτε τα περιεχόμενα του καλαθιού και να ολοκληρώσετε την παραγγελία σας.
επιλογή γλώσσας Ελληνικά English
Εγγραφή στην ηλεκτρονική μας ενημέρωση
Κατηγορίες
 
eBooks
 
 
Οικονομία & Διοίκηση
 
 
Γεωτεχνικές Επιστήμες
 
 
Εφηβικά
 
 
Θεολογία
 
 
Παιδικά
 
 
Θετικές Επιστήμες
 
 
Περιβάλλον - Ενέργεια
 
 
Ιατρική
 
 
Πληροφορική - Τεχνολογία
 
 
Δίκαιο
 
 
Εκπαίδευση - Κατάρτιση
 
 
Κοινωνικές Επιστήμες
 
 
Λεξικά
 
 
Διάφορα
 
 
Ιστορία - Λαογραφία
 
 
Μαγειρική
 
 
Πολιτική
 
 
Λογοτεχνία
 
 
Ανθοδετική
 
 
Πανεπιστημιακά
 
Οι εκδόσεις μας
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RapidSSL
Google+

Αρχική > Θετικές Επιστήμες > Μαθηματικά > Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ
€120,00  €108,00 (-10,00%)
Πόντοι που κερδίζετε: 11
Χρονολογία έκδοσης: 10 2019
ISBN: 9786185304782
Σχήμα: 21x29
Σελίδες: 1312
Κατηγορία είδους: ΒΙΒΛΙΟ
Εκδότης: UNIBOOKS IKE
Κωδικός βιβλίου: 40497
Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ ΕΞΩΦΥΛΛΟ
Διαθεσιμότητα: ΝΕΑ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑ
Look inside - Αποσπάσματα του βιβλίου

Πατήστε την εικόνα για μεγέθυνση
  1/1
 
Περιεχόμενα>>  
ΠΡΟΛΟΓΟΣ 41
ΕΙΣΑΓΩΓΗ 43
ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ 47

ΜΕΡΟΣ Ι: ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 51

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 53

Σκοπός 53
Γνωστικοί Στόχοι 53
Έννοιες-Κλειδιά 53
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 54
Αντικείμενα Μάθησης 54
1.1 Συναρτήσεις και Γραφήματα 55
1.1.1 Πεδίο Ορισμού και Πεδίο Τιμών 55
1.1.2 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις 56
1.1.3 Αριθμητικές Πράξεις και Σύνθεση Συναρτήσεων 57
1.1.4 Τροποποιήσεις Γραφημάτων: Δημιουργία Νέων Συναρτήσεων 58
1.2 Στοιχειώδεις Συναρτήσεις και τα Γραφήματά τους 60
1.2.1 Πολυωνυμικές Συναρτήσεις 60
1.2.2 Ρητές Συναρτήσεις 61
1.2.3 Η Συνάρτηση της Απόλυτης Τιμής 62
1.2.4 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 63
1.2.5 Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις 65
1.2.6 Υπερβολικές Συναρτήσεις 66
1.2.7 Αντίστροφες Συναρτήσεις 67
1.2.8 Γραφήματα Αντίστροφων Συναρτήσεων 69
1.2.9 Αύξουσες και Φθίνουσες Συναρτήσεις 70
1.2.10 Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 70
1.2.11 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις 73
Σύνοψη Κεφαλαίου 1 74
Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου 1 74
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 1 75
Μη Λυμένες Ασκήσεις 79
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 80
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων Κεφαλαίου 1 80
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 81
Διευθύνσεις Διαδικτύου 81
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Η γένεση και εξέλιξη της έννοιας της Συνάρτησης 82

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 83

Σκοπός 83
Γνωστικοί Στόχοι 83
Έννοιες-Κλειδιά 83
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 84
Αντικείμενα Μάθησης 84
2.1 Τι είναι τα Όρια 85
2.2 Πλευρικά Όρια 87
2.3 Άπειρα Όρια και Όρια στο Άπειρο 87
2.4 Βασικοί Κανόνες για τα Όρια 89
2.5 Τεχνικές Εύρεσης Ορίων 90
2.5.1 Αλγεβρικός Υπολογισμός Ορίων 90
2.5.2 Υπολογισμός Τριγωνομετρικών Ορίων 94
2.5.3 Υπολογισμός Ορίων με Αλλαγή Μεταβλητής 95
Σύνοψη Κεφαλαίου 2 96
Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου 2 96
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 97
Μη Λυμένες Ασκήσεις 101
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 101
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων Κεφαλαίου 2 101
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 102
Διευθύνσεις Διαδικτύου 102
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Η γένεση και εξέλιξη της έννοιας του Ορίου 103

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 105

Σκοπός 105
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 105
Γνωστικοί Στόχοι 105
Έννοιες-Κλειδιά 106
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 106
Αντικείμενα Μάθησης 106
3.1 Η Έννοια της Παραγώγου 107
Βασικές Έννοιες Ενότητας 3.1 109
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 3.1 109
3.2 Βασικοί Κανόνες Παραγώγισης 109
Βασικές Έννοιες Ενότητας 3.2 111
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 3.2 112
3.3 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης: Ο Κανόνας της Αλυσίδας 112
Βασικές Έννοιες Ενότητας 3.3 114
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 3.3 114
3.4 Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης 115
Βασικές Έννοιες Ενότητας 3.4 115
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 3.4 115
3.5 Διαφορικό Συνάρτησης – Προσεγγίσεις 116
Βασικές Έννοιες Ενότητας 3.5 118
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 3.5 118
3.6 Τεχνικές Παραγώγισης 118
3.6.1 Πεπλεγμένη Παραγώγιση 118
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.6.1 120
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.6.1 121
3.6.2 Λογαριθμική Παραγώγιση 121
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.6.2 122
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.6.2 122
3.6.3 Παραγώγιση Παραμετροποιημένων Καμπυλών 122
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.6.3 123
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.6.3 123
3.6.4 Παραγώγιση Αντίστροφων Συναρτήσεων 124
Αύξουσες ή Φθίνουσες Συναρτήσεις είναι Ένα-προς-Ένα 124
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.6.4 125
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.6.4 125
3.6.5
Παραγώγιση Αντίστροφων Τριγωνομετρικών και Υπερβολικών Συναρτήσεων 126
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.6.5 128
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.6.5 128
3.7 Εφαρμογές Παραγώγισης 128
3.7.1 Κανόνας του L' H?pital 128
Εκθετικές Απροσδιόριστες Μορφές 131
Ρυθμοί Αύξησης Συναρτήσεων 131
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.7.1 133
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.7.1 133
3.7.2 Εφαπτόμενες και Κάθετες Γραμμές 133
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.7.2 135
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.7.2 135
3.7.3 Δύο Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού 135
Το Θεώρημα του Rolle 135
Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 135
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.7.3 136
3.7.4 Μέγιστα και Ελάχιστα 137
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.7.4 139
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.7.4 140
3.7.5 Προβλήματα Βελτιστοποίησης 140
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.7.5 142
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.7.5 142
3.7.6 Μέθοδος Newton-Raphson 142
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.7.6 144
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.7.6 144
3.8 Προσεγγίσεις με Σειρές Maclaurin & Taylor 144
3.8.1 Γραμμική και Δευτεροβάθμια Προσέγγιση και Εφαρμογές 144
Γραμμικοποίηση 146
Δευτεροβάθμια Προσέγγιση 147
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.8.1 Γραμμική και Δευτεροβάθμια Προσέγγιση 148
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.8.1 Γραμμική και Δευτεροβάθμια Προσέγγιση 148
ΕΝΘΕΤΟ 3.1: Δυναμοσειρές 149
3.8.2 Πολυώνυμα Taylor 149
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 3.8.2 154
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 3.8.2 154
Σύνοψη Κεφαλαίου 3 154
Λυμένες Ασκήσεις 155
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 3 162
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Ενοτήτων) 163
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων Κεφαλαίου 3 164
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 166
Διευθύνσεις Διαδικτύου 166
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Η γένεση και εξέλιξη του Απειροστικού Λογισμού(1) 167

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 169

Σκοπός 169
Γνωστικοί Στόχοι 169
Έννοιες-Κλειδιά 170
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 170
Αντικείμενα Μάθησης 170
4.1 Η Αντιπαράγωγος ή το Αόριστο Ολοκλήρωμα 171
Βασικές Έννοιες Ενότητας 4.1 175
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 4.1 175
4.2 Το Ορισμένο Ολοκλήρωμα 175
4.2.1 Συναρτήσεις Συσσώρευσης 177
4.2.2 Αθροίσματα Riemann 178
Βασικές Έννοιες Ενότητας 4.2 Ορισμένο Ολοκλήρωμα 180
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 4.2 Ορισμένο Ολοκλήρωμα 181
4.3 Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού: Οι Δύο Εκδοχές 182
Βασικές Έννοιες Ενότητας 4.3 184
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 4.3 184
4.4 Γενικευμένα Ολοκληρώματα 185
4.4.1 Γενικευμένα Ολοκληρώματα Τύπου 1 185
4.4.2 Γενικευμένα Ολοκληρώματα Τύπου 2 187
Βασικές Έννοιες Ενότητας 4.4 189
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 4.4 189
4.5 Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση 190
4.5.1 Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση στα Αόριστα Ολοκληρώματα 190
4.5.2 Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση στα Ορισμένα Ολοκληρώματα 192
4.5.3 Ολοκλήρωση Άρτιων και Περιττών Συναρτήσεων: Συμμετρία 192
Βασικές Έννοιες Ενότητας 4.5 193
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 4.5 193
4.6 Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες 194
4.6.1 Η Έννοια και η Εφαρμογή της 194
4.6.2 Επανειλημμένη Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες: Αναγωγικοί Τύποι 195
Βασικές Έννοιες Ενότητας 4.6 197
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 4.6 197
4.7 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων 197
4.7.1 Ολοκλήρωση με χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων 197
4.7.2 Ολοκλήρωση Δυνάμεων Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων 199
Μεθοδολογία Υπολογισμού του 199
Μεθοδολογία Υπολογισμού του 201
Βασικές Έννοιες Ενότητας 4.7 201
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 4.7 202
4.8 Ολοκλήρωση με Τριγωνομετρική Αντικατάσταση 202
Τύπος 1: 203
Τύπος 2: 204
Τύπος 3: 205
Η περίπτωση 206
Βασικές Έννοιες Ενότητας 4.8 206
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 4.8 207
4.9 Ολοκλήρωση με Μερικά Κλάσματα 207
4.9.1 Εισαγωγή 207
4.9.2 Η Άλγεβρα των Μερικών Κλασμάτων 208
4.9.3 Ολοκλήρωση των Μερικών Κλασμάτων 211
Βασικές Έννοιες Ενότητας 4.9 212
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 4.9 213
Σύνοψη Κεφαλαίου 4 213
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 4 214
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 4 222
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Ενοτήτων) 223
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων Κεφαλαίου 4 223
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 224
Διευθύνσεις Διαδικτύου 224
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Η γένεση και εξέλιξη του Απειροστικού Λογισμού(2) 225

ΜΕΡΟΣ ΙI: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 227

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 229

Σκοπός 229
Γνωστικοί Στόχοι 229
Έννοιες-Κλειδιά 230
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 230
Αντικείμενα Μάθησης 230
5.1 Τρισδιάστατος Χώρος - Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων 231
5.1.1 Ορθογώνιο (Καρτεσιανό) Σύστημα Συντεταγμένων 231
Δισδιάστατο Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων (Εικόνα 5.1α) 231
Τρισδιάστατο Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων 232
Επίπεδα συντεταγμένων 233
Απόσταση Μεταξύ Δύο Σημείων και Μέσο Ευθύγραμμου Τμήματος 233
5.1.2 Εξισώσεις και τα Γραφήματά τους 234
5.1.3 Αλγεβρική Περιγραφή Συνόλων Σημείων του Χώρου 237
Βασικές Έννοιες 5.1 238
Έλεγχος Κατανόησης 5.1 238
Λυμένες Ασκήσεις 5.1 239
Μη Λυμένες Ασκήσεις 5.1 240
Απαντήσεις Ασκήσεων 5.1 240
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 5.1) 240
5.2 Διανύσματα 240
5.2.1 Αλγεβρική Προσέγγιση Διανυσμάτων σε 2 και 3 Διαστάσεις 241
Άλγεβρα Διανυσμάτων 242
5.2.2 Γεωμετρική Προσέγγιση Διανυσμάτων σε 2 και 3 Διαστάσεις 243
Γεωμετρική Ερμηνεία Διανυσμάτων 243
Γεωμετρικές Πράξεις Διανυσμάτων 245
Παράλληλα Διανύσματα 246
ΕΝΘΕΤΟ 5.1: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας-1 246
Απόσταση Μεταξύ Δυο Σημείων στον Χώρο: Διάνυσμα Μετατόπισης 247
Μέτρο Διανύσματος 248
Μοναδιαίο Διάνυσμα 249
Κανονικοποίηση 249
Πρότυπα Μοναδιαία Διανύσματα Βάσης 251
Βασικές Έννοιες 5.2 252
Έλεγχος Κατανόησης 5.2 253
Λυμένες Ασκήσεις 5.2 253
Μη Λυμένες Ασκήσεις 5.2 254
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων Ενότητας 5.2 254
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 5.2) 254
5.3 Εσωτερικό Γινόμενο 254
5.3.1 Αλγεβρική Προσέγγιση 255
Πώς ορίζεται αλγεβρικά το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων; 255
Ποιες είναι οι αλγεβρικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου; 256
5.3.2 Γεωμετρική Προσέγγιση 257
Πώς ορίζεται και ποια είναι η γεωμετρική σημασία του εσωτερικού γινομένου; 257
Γωνία Μεταξύ Δύο Διανυσμάτων 258
Πότε είναι κάθετα δύο διανύσματα; 259
Πώς βρίσκουμε την κατεύθυνση ενός διανύσματος; 260
Εσωτερικά γινόμενα των πρότυπων μοναδιαίων διανυσμάτων 261
5.3.3 Συνημίτονα Κατεύθυνσης και Γωνίες Κατεύθυνσης 261
5.3.4 Ορθογώνιες Προβολές και Διανυσματικές Συνιστώσες 262
Πώς υπολογίζουμε τη βαθμωτή συνιστώσα ενός διανύσματος σε ένα άλλο διάνυσμα; 263
Πώς υπολογίζουμε τη διανυσματική προβολή ενός διανύσματος σε ένα άλλο διάνυσμα; 263
5.3.5 Εφαρμογές του Εσωτερικού Γινομένου 264
Παράλληλα και Κάθετα Διανύσματα 264
Έργο και Δύναμη 264
5.3.6 Διανύσματα στον Χώρο n Διαστάσεων 265
Βασικές Έννοιες 5.3 265
Έλεγχος Κατανόησης 5.3 266
Λυμένες Ασκήσεις 5.3 266
Μη Λυμένες Ασκήσεις 5.3 268
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων 5.3 268
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 5.3) 268
5.4 Εξωτερικό (Διανυσματικό) Γινόμενο 268
5.4.1 Αλγεβρική Προσέγγιση 269
Πώς Προκύπτει το Εξωτερικό Γινόμενο Δύο Διανυσμάτων; 269
Πώς Ορίζεται το Εξωτερικό Γινόμενο Δύο Διανυσμάτων του 3D Χώρου; 270
ΕΝΘΕΤΟ 5.2: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας-2: Πίνακες και Ορίζουσες 270
Μερικές Ιδιότητες των Οριζουσών 273
Το Εξωτερικό Γινόμενο ως Ορίζουσα 274
Πώς βρίσκουμε ένα κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο που ορίζεται από δυο άλλα διανύσματα; 275
Πώς ορίζεται η παραλληλία 2 διανυσμάτων; 276
5.4.2 Γεωμετρική Προσέγγιση 277
Πώς ορίζεται γεωμετρικά το εξωτερικό γινόμενο; 277
Πώς ορίζεται η φορά του εξωτερικού γινομένου; 278
Πώς ορίζεται το μέτρο (μήκος) του εξωτερικού γινομένου; 278
Πώς βρίσκουμε ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τρία σημεία στον χώρο; 280
5.4.3 Άλλες Εφαρμογές του Διανυσματικού Γινομένου 281
Βασικές Έννοιες 5.4 281
Έλεγχος Κατανόησης 5.4 282
Λυμένες Ασκήσεις 5.4 282
Μη Λυμένες Ασκήσεις 5.4 283
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 5.4) 284
5.5 Τριπλά Γινόμενα 284
5.5.1 Τριπλό Βαθμωτό Γινόμενο 284
Πώς ορίζεται και πώς υπολογίζεται το τριπλό βαθμωτό γινόμενο; 284
Ποια είναι η γεωμετρική σημασία του τριπλού γινομένου; 285
Πότε τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα; 286
Εναλλακτικές μορφές του βαθμωτού τριπλού γινομένου. 287
5.5.2 Τριπλό Διανυσματικό Γινόμενο 287
Βασικές Έννοιες 5.5 289
Έλεγχος Κατανόησης 5.5 289
Λυμένες Ασκήσεις 5.5 289
Μη Λυμένες Ασκήσεις 5.5 290
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 5.5) 290
5.6 Ευθείες στον Τρισδιάστατο Χώρο 290
5.6.1 Εξισώσεις Ευθειών στο Επίπεδο 291
Τι είναι οι γραμμικές εξισώσεις; 291
Τι είναι οι παραμετροποιημένες καμπύλες; 292
5.6.2 Ευθείες στον Τρισδιάστατο Χώρο 292
Παραμετροποιήσεις Ευθειών στον Χώρο 292
Παραμετρικές Εξισώσεις Ευθείας διαμέσου σημείου, παράλληλα με διάνυσμα 292
Παραμετροποιήσεις Ευθύγραμμου Τμήματος στον Χώρο 294
5.6.3 Διανυσματικές Εξισώσεις Ευθειών στον Χώρο 295
5.6.4 Καρτεσιανές Εξισώσεις Ευθειών στον Χώρο 295
5.6.5 Σχετικές Θέσεις Ευθειών στον Χώρο 297
Πότε Δυο Ευθείες Είναι Παράλληλες; 297
Ποια είναι η Απόσταση Μεταξύ Παράλληλων Ευθειών (Εικόνα 5.30α); 297
Πότε Δυο Ευθείες Είναι Κάθετες; 298
Ποια είναι η Απόσταση Μεταξύ Ασύμβατων Γραμμών (Εικόνα 5.30β) 298
Πότε Δύο Ευθείες Είναι Ασύμβατες Και Πότε Τέμνονται; 298
Πώς Βρίσκουμε το Σημείο Τομής δύο Ευθειών; 299
5.6.6 Απόσταση Σημείου από Ευθεία 301
Βασικές Έννοιες 5.6 302
Έλεγχος Κατανόησης 5.6 302
Λυμένες Ασκήσεις 5.6 303
Μη Λυμένες Ασκήσεις 5.6 303
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 5.6) 303
5.7 Επίπεδα στον Τρισδιάστατο Χώρο 304
Επίπεδα Παράλληλα με τα Επίπεδα των Συντεταγμένων 304
5.7.1 Καρτεσιανές Εξισώσεις Επιπέδων 304
Σχετική θέση δύο επιπέδων 306
5.7.2 Παραμετρικές Εξισώσεις Επιπέδων 307
5.7.3 Προβλήματα Απόστασης 308
Βασικές Έννοιες 5.7 310
Έλεγχος Κατανόησης 5.7 310
Λυμένες Ασκήσεις 5.7 310
Μη Λυμένες Ασκήσεις 5.7 313
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 5.7) 313
5.8 Δευτεροβάθμιες Επιφάνειες στον Χώρο ?3 313
5.8.1 Κωνικές Τομές: Επισκόπηση 314
5.8.2 Κυλινδρικές Επιφάνειες 316
5.8.3 Δευτεροβάθμιες Επιφάνειες 318
Ταξινόμηση των Δευτεροβάθμιων Επιφανειών 318
5.8.4 Επιφάνειες εκ Περιστροφής 324
Βασικές Έννοιες 5.8 326
Έλεγχος Κατανόησης 5.8 327
Ασκήσεις με Απαντήσεις 5.8 327
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 5.8) 328
Σύνοψη Κεφαλαίου 5. 328
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 329
Διευθύνσεις Διαδικτύου 329
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Διανυσματικός Λογισμός (1) 330

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 333

Σκοπός 333
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 333
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 333
Γνωστικοί Στόχοι 334
Έννοιες-Κλειδιά 334
Αντικείμενα Μάθησης 334
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις: Διάφοροι Τύποι Καμπυλών 335
6.1 Παραμετροποιημένες Επίπεδες Καμπύλες 335
6.1.1 Παραμετρικές εξισώσεις και παραμετροποιημένες καμπύλες 335
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 6.1.1 339
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 6.1.1 339
6.1.2 Λογισμός Παραμετρικών Εξισώσεων 340
Εφαπτόμενες γραμμές σε παραμετροποιημένες καμπύλες 340
Εμβαδόν επιφάνειας κάτω από παραμετροποιημένη καμπύλη (χωρίς κάθετες εφαπτόμενες) 341
Μήκος παραμετροποιημένης καμπύλης 341
Εμβαδόν επιφάνειας εκ περιστροφής παραμετροποιημένης καμπύλης 342
Βασικές Έννοιες Υπο-Ενότητας 6.1.2 343
Έλεγχος Κατανόησης Υπο-Ενότητας 6.1.2 343
Λυμένες Ασκήσεις Υπο-Ενότητας 6.1.2 343
Ασκήσεις με Απαντήσεις Ενότητας 6.1 344
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Υποενότητας 6.1.1) 344
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Υποενότητας 6.1.2) 344
6.2 Διανυσματικές Συναρτήσεις - Χωρικές καμπύλες 344
6.2.1 Διανυσματικές Συναρτήσεις 344
6.2.2 Χωρικές Καμπύλες 347
Βασικές Έννοιες Ενότητας 6.2 347
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 6.2 348
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 6.2 348
Άσκηση με Απάντηση Ενότητας 6.2 349
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 6.2) 349
6.3 Απειροστικός Λογισμός Διανυσματικών Συναρτήσεων 349
6.3.1 Όρια και Συνέχεια Διανυσματικών Συναρτήσεων 350
6.3.2. Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων 353
Κανόνες Παραγώγισης Διανυσματικών Συναρτήσεων 355
Η Παράγωγος ως Εφαπτόμενο Διάνυσμα 357
Το Εφαπτόμενο Διάνυσμα ως Ταχύτητα 358
Μοναδιαίο Εφαπτόμενο Διάνυσμα 360
Λεία Καμπύλη 360
Επιτάχυνση 361
ΕΝΘΕΤΟ 6.1: ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 362
6.3.3 Ολοκλήρωση Διανυσματικών Συναρτήσεων 366
Κανόνες Ολοκλήρωσης Διανυσματικών Συναρτήσεων 367
Βασικές Έννοιες Ενότητας 6.3 369
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 6.3 370
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 6.3 370
Ασκήσεις με Απαντήσεις Ενότητας 6.3 371
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 6.3) 371
6.4 Μήκος Τόξου 371
6.4.1 Μήκος Χωρικής Καμπύλης 371
Λεία Παραμετροποίηση 371
Μήκος Τόξου: Διανυσματική Προσέγγιση 372
Μήκος Τόξου: Παραμετρική Προσέγγιση 373
Αλλαγή Παραμέτρου 374
Παραμετροποιήσεις Μήκους Τόξου 376
Ιδιότητες των Παραμετροποιήσεων ως προς το Μήκος Τόξου 377
Βασικές Έννοιες Ενότητας 6.4 379
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 6.4 379
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 6.4 379
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 6.4) 380
6.5 Καμπυλότητα και Κάθετα Διανύσματα 381
6.5.1 Καμπυλότητα 381
Ακτίνα Καμπυλότητας 384
Γεωμετρική Ερμηνεία της Καμπυλότητας στο ?2 385
6.5.2 Κάθετα Διανύσματα 385
Κύριο Μοναδιαίο Κάθετο Διάνυσμα 385
Δικάθετο Διάνυσμα 387
Στρέψη 389
Ο Εγγύτατος Κύκλος στον Χώρο 391
Βασικές Έννοιες Ενότητας 6.5 393
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 6.5 394
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 6.5 394
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 6.5) 396
6.6 Κινηματικές Εφαρμογές Διανυσματικών Συναρτήσεων 396
6.6.1 Κίνηση στο Τρισδιάστατο Χώρο 396
6.6.2 Εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης 400
Βασικές Έννοιες 6.6 404
Δοκιμασία Κατανόησης 6.6 405
Λυμένες Ασκήσεις 6.6 405
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 6.6) 406
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 6 406
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων) 408
Σύνοψη Κεφααλίου 6 408
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 409
Διευθύνσεις Διαδικτύου 409
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Οι Νόμοι του Kepler 410

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 415

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 417

Σκοπός 417
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 417
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 417
Γνωστικοί Στόχοι 417
Έννοιες-Κλειδιά 418
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 418
Αντικείμενα Μάθησης 418
7.1 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 419
7.1.1 Συναρτήσεις Δύο Μεταβλητών 419
Συνδυασμοί και Σύνθεση Συναρτήσεων Δύο Μεταβλητών 420
Γραφήματα Συναρτήσεων Δύο Μεταβλητών 422
Ισοσταθμικές Καμπύλες 424
7.1.2 Συναρτήσεις Περισσότερων από Δύο Μεταβλητές 427
Γραφήματα Συναρτήσεων Περισσότερων από Δύο Μεταβλητές 427
Ισοσταθμικές Επιφάνειες 428
Βασικές Έννοιες Ενότητας 7.1 428
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 7.1 429
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.1 429
Ασκήσεις με Απαντήσεις Ενότητας 7.1 430
Aπαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 7.1) 430
7.2 Όρια και Συνέχεια Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών 431
7.2.1 Όριο Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών 431
Η έννοια του Επίπεδου Τόπου 432
Ιδιότητες Ορίων Συναρτήσεων Δύο Μεταβλητών 434
7.2.2 Συνέχεια Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών 436
7.2.3 Συνέχεια Συνάρτησης Τριών Μεταβλητών 438
Βασικές Έννοιες Ενότητας 7.2 438
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 7.2 439
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.2 439
Ασκήσεις με Απαντήσεις Ενότητας 7.2 440
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 7.2) 441
7.3 Μερικές Παράγωγοι 441
ΕΝΘΕΤΟ 7.1: Ερμηνείες της Παραγώγου Συναρτήσεων 1 Μεταβλητής: Σύνοψη 441
7.3.1 Μερικές Παράγωγοι Συναρτήσεων Δύο Μεταβλητών 442
Η Έννοια της Μερικής Παραγώγου 442
Τι δηλώνουν οι μερικές παράγωγοι; 444
Συμβολισμός των Μερικών Παραγώγων 444
Υπολογισμός των Μερικών Παραγώγων 444
Μερικές παράγωγοι και χάρτες ισοσταθμικών καμπυλών 445
Κανόνες μερικής παραγώγισης 447
Πεπλεγμένη Παραγώγιση 447
7.3.2 Μερικές Παράγωγοι Συναρτήσεων Τριών Μεταβλητών 448
7.3.3 Μερικές Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης 449
Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις 450
Βασικές Έννοιες Ενότητας 7.3 451
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 7.3 452
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.3 452
Μη Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.3 456
Απαντήσεις (Μη Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.3) 456
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 7.3) 457
7.4
Διαφορισιμότητα, Εφαπτόμενο Επίπεδο, Γραμμική Προσέγγιση και Διαφορικό 457
7.4.1 Διαφορισιμότητα 457
Διαφορισιμότητα Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής 457
Διαφορισιμότητα Συναρτήσεων Δύο(ή περισσότερων) Μεταβλητών 458
7.4.2 Εφαπτόμενο Επίπεδο 460
Η Εφαπτόμενη Γραμμή στο Γράφημα Συνάρτησης Μιας Μεταβλητής 460
Το Εφαπτόμενο Επίπεδο στο Γράφημα Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών 461
Η Εξίσωση του Εφαπτόμενου Επιπέδου 461
Η Εξίσωση του Εφαπτόμενου Επιπέδου για z = f (x, y) 462
7.4.3 Γραμμική Προσέγγιση 464
Γραμμική Προσέγγιση Συνάρτησης Μιας Μεταβλητής: 1η Εκδοχή 464
Γραμμική Προσέγγιση Συνάρτησης Μιας Μεταβλητής: 2η Εκδοχή 465
Γραμμική Προσέγγιση Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών 466
7.4.4 Διαφορικά 468
Διαφορικό Συνάρτησης Μιας Μεταβλητής 468
Διαφορικό Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών 469
7.4.5 Συναρτήσεις Τριών (ή Περισσότερων) Μεταβλητών 470
Βασικές Έννοιες Ενότητας 7.4 471
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 7.4 472
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.4 472
Μη Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.4 475
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 7.4) 476
7.5 Ο Κανόνας της Αλυσιδωτής Παραγώγισης 476
7.5.1 Σύνθεση Συναρτήσεων Μιας και Περισσότερων Μεταβλητών 476
7.5.2 Ο Κανόνας της Αλυσίδας για Συναρτήσεις Μιας Μεταβλητής 477
7.5.3 Ο Κανόνας της Αλυσίδας για Συναρτήσεις Δύο Μεταβλητών 477
7.5.4 Ο Κανόνας της Αλυσίδας για Συναρτήσεις Τριών Μεταβλητών 479
7.5.5 Η Γενική Εκδοχή του Κανόνα της Αλυσίδας 480
7.5.6 Πεπλεγμένη Μερική Παραγώγιση 481
Βασικές Έννοιες Ενότητας 7.5 483
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 7.5 483
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.5 483
Μη Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.5 486
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 7.5) 486
Απαντήσεις (Μη Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 7.5) 486
Απαντήσεις Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων Κεφαλαίου 7 486
Σύνοψη Κεφαλαίου 7 486
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 487
Διευθύνσεις Διαδικτύου 487
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Η Μερική Παράγωγος 488

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8
ΚΛΙΣΗ. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 489

Σκοπός 489
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 489
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 489
Γνωστικοί Στόχοι 489
Έννοιες-Κλειδιά 490
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 490
Αντικείμενα Μάθησης 490
8.1 Παράγωγος κατά Κατεύθυνση και Διάνυσμα της Κλίσης 491
8.1.1 Παράγωγος κατά Κατεύθυνση 492
Ορισμός 492
Ειδικές περιπτώσεις 494
Υπολογισμός 494
8.1.2 Το Διάνυσμα της Κλίσης (Βαθμίδας ή Βάθμωσης) 496
Συναρτήσεις Δύο Μεταβλητών 496
Συναρτήσεις Τριών Μεταβλητών 498
8.1.3 Μεγιστοποιώντας την Παράγωγο κατά Κατεύθυνση 500
8.1.4
Η Κλίση ως Κάθετο Διάνυσμα: Εφαπτόμενα Επίπεδα και Κάθετή Γραμμή σε Ισοσταθμική Επιφάνεια 502
Το Διάνυσμα της Κλίσης και οι Ισοσταθμικές Καμπύλες. 502
Το Διάνυσμα της Βαθμίδας και Ισοσταθμικές Επιφάνειες 505
Εφαπτόμενο Επίπεδο σε Ισοσταθμική Επιφάνεια 505
Κάθετη Γραμμή σε Ισοσταθμική Επιφάνεια 506
8.1.5 Το Διάνυσμα της Κλίσης και ο Κανόνας της Αλυσίδας 507
Βασικές Έννοιες 8.1 508
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 8.1 509
Λυμένες Ασκήσεις 8.1 509
Μη Λυμένες Ασκήσεις 8.1 512
Απαντήσεις 513
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 8.1) 513
8.2 Το Θεώρημα του Taylor 513
8.2.1 Θεώρημα του Taylor για Μία Μεταβλητή: Ανασκόπηση 513
Γραμμική Προσέγγιση 513
Δευτεροβάθμια Προσέγγιση 514
Προσεγγίσεις με Μεγαλύτερου Βαθμού Πολυώνυμα Taylor 515
8.2.2 Θεώρημα του Taylor για Συναρτήσεις Δύο Μεταβλητών 517
Ανάπτυγμα Πρώτης Τάξης 517
Ανάπτυγμα Δεύτερης Τάξης 517
Βασικές Έννοιες Ενότητας 8.2 519
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 8.2 520
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 8.2 520
Μη Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 8.2 523
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων Ενότητας 8.2 523
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 8.2) 523
8.3 Ακρότατα Συναρτήσεων Δύο Μεταβλητών 523
8.3.1 Ακρότατα Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής: Ανασκόπηση 524
8.3.2 Σχετικά Ακρότατα Συναρτήσεων Δύο Μεταβλητών 526
Το Κριτήριο των Πρώτων Μερικών Παραγώγων για Σχετικά Ακρότατα 527
Εύρεση και Ανάλυση των Κρίσιμων Σημείων 529
Το Κριτήριο των Δεύτερων Μερικών Παραγώγων για Σχετικά Ακρότατα 530
ΕΝΘΕΤΟ 8.1: Στάσιμα Σημεία και Δευτεροβάθμια Προσέγγιση 531
Απόλυτα Ακρότατα Συναρτήσεων Δύο Μεταβλητών 535
Μια Χρήσιμη Εφαρμογή: Η Μέθοδος των Ελάχιστων Τετραγώνων 538
Βασικά Σημεία Ενότητας 8.3 540
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 8.3 541
Λυμένες Ασκήσεις 8.3 541
Μη Λυμένες Ασκήσεις 8.3 544
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων 8.3 544
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 8.3) 545
8.4 Ακρότατα υπό Συνθήκη και Πολλαπλασιαστές Lagrange 545
8.4.1 Προβλήματα Βελτιστοποίησης με Περιορισμούς 545
8.4.2 H Μέθοδος των Πολλαπλασιαστών Lagrange 545
8.4.3 Τρεις Μεταβλητές και Ένας Περιορισμός 548
8.4.4 Τρεις Μεταβλητές και Δύο Περιορισμοί 549
Βασικά Σημεία Ενότητας 8.4 549
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 8.4 550
Σύνοψη Κεφαλαίου 8 550
Λυμένες Ασκήσεις 8.4 551
Μη Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 8.4 553
Απαντήσεις (Μη Λυμένων Ασκήσεων: Πολλαπλασιαστές Lagrange) 554
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 8.4) 554
Απαντήσεις Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 554
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 555
Διευθύνσεις Διαδικτύου 555
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Το Θεώρημα του Taylor 556

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9
ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 559

Σκοπός 559
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 559
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 559
Γνωστικοί Στόχοι 560
Έννοιες-Κλειδιά 560
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 560
Αντικείμενα Μάθησης 560
EΝΘΕΤΟ 9.1: Επανάληψη: Τι είναι το Ορισμένο Ολοκλήρωμα; 561
9.1 Διπλά Ολοκληρώματα Ορισμένα σε Ορθογώνιους Τόπους 562
9.1.1 Ορισμός 562
9.1.2 Υπολογισμός των Διπλών ως Διαδοχικών Ολοκληρωμάτων 565
Βασικές Έννοιες 8.1 568
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 9.1 569
Λυμένες Ασκήσεις 9.1 569
Μη Λυμένες Ασκήσεις 9.1 570
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 9.1) 570
9.2 Διπλά Ολοκληρώματα Ορισμένα σε μη Ορθογώνια Χωρία 571
9.2.1 Εισαγωγή 571
9.2.2 Τύποι Χωρίων Μεταξύ Δύο Γραφημάτων 572
9.2.3 Υπολογισμός Όγκου Στερεών 575
9.2.4 Υπολογισμός Όγκου Μεταξύ Δύο Επιφανειών 576
9.2.5 Σύνθετα Χωρία 576
9.2.6 Υπολογισμός Εμβαδού Επιφάνειας 577
9.2.7 Μέση Τιμή Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών 578
Βασικές Έννοιες 9.2 579
Έλεγχος Κατανόησης 9.2 580
Λυμένες Ασκήσεις 9.2 580
Μη Λυμένες Ασκήσεις 9.2 583
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 9.2) 583
9.3 Διπλά Ολοκληρώματα σε Πολικές Συντεταγμένες 584
9.3.1 Εισαγωγή 584
ΕΝΘΕΤΟ 9.2: Πολικές συντεταγμένες 584
9.3.2 Εμβαδόν Στοιχειώδους Επιφάνειας σε Πολικές Συντεταγμένες 586
9.3.3 Υπολογισμός Διπλών Ολοκληρωμάτων σε Πολική Μορφή 587
Βασικές Έννοιες 9.3 589
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 9.3 589
Λυμένες Ασκήσεις 9.3 590
Μη Λυμένες Ασκήσεις 9.3 591
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 9.3) 591
9.4 Φυσικές Εφαρμογές των Διπλών Ολοκληρωμάτων 592
9.4.1 Πυκνότητα και Μάζα 592
9.4.2 Κέντρα Μάζας και Πρώτες Ροπές 593
9.4.3 Ροπές Αδράνειας 595
9.4.4 Θεωρία Πιθανοτήτων 598
Βασικές Έννοιες 9.4 599
Έλεγχος Κατανόησης 9.4 600
Σύνοψη Κεφαλαίου 9 600
Λυμένες Ασκήσεις 9.4 600
Μη Λυμένες Ασκήσεις 9.4 601
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 9.4) 602
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων) 602
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 603
Διευθύνσεις Διαδικτύου 603
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Πολλαπλά Ολοκληρώματα 605

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10
ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 607

Σκοπός 607
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 607
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 607
Γνωστικοί Στόχοι 608
Έννοιες-Κλειδιά 608
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 608
Αντικείμενα Μάθησης 608
10.1 Τριπλά Ολοκληρώματα σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες 609
10.1.1 Η Έννοια του Τριπλού Ολοκληρώματος 609
10.1.2 Υπολογισμός Τριπλών Ολοκληρωμάτων 610
Ολοκλήρωση σε Ορθογώνιο Τετράπλευρο ("κουτί") 610
Υπολογισμός Τριπλών Ολοκληρωμάτων σε Φραγμένα Στερεά Χωρία 611
Υπολογισμός Όγκου ως Τριπλού Ολοκληρώματος 615
Αλλάζοντας τη Σειρά Ολοκλήρωσης 617
Μέση Τιμή Συνάρτησης Τριών Μεταβλητών 617
Βασικές Έννοιες Ενότητας 10.1 619
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 10.1 619
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 10.1 619
Ασκήσεις με Απαντήσεις Ενότητας 10.1 621
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 10.1) 621
10.2 Τριπλά Ολοκληρώματα σε Κυλινδρικές Συντεταγμένες 622
10.2.1 Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων 622
10.2.2 Ολοκλήρωση σε Κυλινδρικές Συντεταγμένες 624
Βασικές Έννοιες Ενότητας 10.2 626
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 10.2 627
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 10.2 627
Ασκήσεις με Απαντήσεις Ενότητας 10.2 629
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 10.2) 629
10.3 Τριπλά Ολοκληρώματα Σφαιρικές Συντεταγμένες 629
10.3.1 Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων 629
10.3.2 Ολοκλήρωση σε Σφαιρικές Συντεταγμένες 632
Βασικές Έννοιες Ενότητας 10.3 635
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 10.3 635
Λυμένες Ασκήσεις Ενότητας 10.3 635
Ασκήσεις με Απαντήσεις Ενότητας 10.3 637
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 10.3) 638
10.4 Εφαρμογές των Τριπλών Ολοκληρωμάτων 638
10.4.1 Μάζα, Κέντρο Μάζας και Ροπές Αδράνειας 638
Βασικές Έννοιες Ενότητας 10.4 640
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 10.4 641
Λυμένες Ασκήσεις 641
Ασκήσεις με Απαντήσεις 10.4 643
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 10.4) 643
10.5 Αλλαγή Μεταβλητών σε Πολλαπλά Ολοκληρώματα 643
10.5.1 Μετασχηματισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής 643
10.5.2 Μετασχηματισμός Συναρτήσεων Πολλαπλών Μεταβλητών 646
Μετασχηματισμοί στο Επίπεδο 646
Αλλαγή Μεταβλητών σε Διπλά Ολοκληρώματα 649
Αλλαγή Μεταβλητών σε Τριπλά Ολοκληρώματα 655
Βασικές Έννοιες Ενότητας 10.5 656
Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 10.5 657
Σύνοψη Κεφαλαίου 10 657
Λυμένες Ασκήσεις 10.5 658
Ασκήσεις με Απαντήσεις 10.5 659
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 10.5) 660
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων Κεφαλαίου 10) 660
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 661
Διευθύνσεις Διαδικτύου 661
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Αλλαγή μεταβλητών στην πολλαπλή ολοκλήρωση 662

ΜΕΡΟΣ ΙV: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 663

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ 665

Σκοπός 665
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 665
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 665
Γνωστικοί Στόχοι 666
Έννοιες-Κλειδιά 666
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 666
Αντικείμενα Μάθησης 667
11.1 Διανυσματικά Πεδία- Εννοιολογική Προσέγγιση 668
11.2 Διανυσματικά Πεδία- Μαθηματική Προσέγγιση 669
11.2.1 Ορισμός και Παραδείγματα 669
11.3 Ακτινικά Διανυσματικά Πεδία 672
11.4 Διανυσματικά Πεδία Κλίσης και Συναρτήσεις Δυναμικού 676
11.4.1 Εύρεση Συναρτήσεων Δυναμικού 679
11.5 Ολοκληρωτικές καμπύλες (Ροϊκές Γραμμές) 679
11.6 Ισοδυναμικές Επιφάνειες και Καμπύλες 681
Σύνοψη Βασικών Εννοιών Κεφαλαίου 11 682
Έλεγχος Κατανόησης Εννοιών Κεφαλαίου 11 683
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 11 683
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 11 686
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 686
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων) 687
Σύνοψη Κεφαλαίου 11 687
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 688
Διευθύνσεις Διαδικτύου 688
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Η έννοια του Πεδίου 689

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12
ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ 691

Σκοπός 691
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 691
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 691
Γνωστικοί Στόχοι 692
Έννοιες-Κλειδιά 692
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 692
Αντικείμενα Μάθησης 692
12.1 Απόκλιση Διανυσματικού Πεδίου 693
12.1.1 Ορισμός της Απόκλισης 693
12.1.2 Ερμηνεία της Απόκλισης 694
12.1.3 Απόκλιση Ακτινικού Διανυσματικού Πεδίου 697
12.1.4 Διανυσματικές Ταυτότητες Απόκλισης 699
12.1.5 Η Λαπλασιανή 699
12.2 Στροβιλισμός Διανυσματικού Πεδίου 700
12.2.1 Ορισμός του Στροβιλισμού 700
12.2.2 Σημασία του Στροβιλισμού: Περιγραφική προσέγγιση 701
12.2.3 Σημασία του Στροβιλισμού: Μαθηματική Προσέγγιση 705
12.2.4 Διανυσματικές Ταυτότητες του Στροβιλισμού 708
12.2.5 Στροβιλισμός και Συντηρητικά Διανυσματικά Πεδία 708
Σύνοψη Βασικών Εννοιών 711
Έλεγχος Κατανόησης Εννοιών Κεφαλαίου 12 712
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 12 712
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 12 714
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Εννοιών Κεφαλαίου 12) 714
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων) 714
Σύνοψη Κεφαλαίου 12 714
Βιβλιογραφικές Πηγές 715
Βιβλία 715
Διευθύνσεις Διαδικτύου 715
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Οι Έννοιες της Απόκλισης και του Στροβιλισμού 716

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 719

Σκοπός 719
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 719
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 719
Γνωστικοί Στόχοι 720
Έννοιες-Κλειδιά 720
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 720
Αντικείμενα Μάθησης 721
13.1 Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Βαθμωτών Πεδίων 721
13.1.1 Ορισμός 721
Επικαμπύλια ολοκληρώματα ως προς μήκος τόξου 721
Επικαμπύλια ολοκληρώματα ως προς x ή y 722
13.1.2 Υπολογισμός 722
Επικαμπύλια ολοκληρώματα ως προς μήκος τόξου 722
Επικαμπύλια ολοκληρώματα ως προς x ή y 724
Ανεξαρτησία από την παραμετροποίηση 724
Προσανατολισμός καμπύλης 725
Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα επίπεδης καμπύλης 726
Τμηματικά Λείες Καμπύλες 727
13.1.3 Εφαρμογές Βαθμωτών Επικαμπύλιων Ολοκληρωμάτων 727
13.2 Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Διανυσματικών Πεδίων 729
Προσανατολισμός καμπύλης 729
13.2.1 Ορισμός 729
13.2.2 Υπολογισμός 731
Υπολογισμός με Παραμετροποίηση Λείας Καμπύλης 731
Υπολογισμός με Παραμετροποίηση Τμηματικά Λείας Καμπύλης 733
Διαφορικός Συμβολισμός 733
13.2.3 Εφαρμογές 734
Ροή Δισδιάστατων Διανυσματικών Πεδίων 737
13.3 Το Θεμελιώδες Θεώρημα Επικαμπύλιων Ολοκληρωμάτων 739
13.3.1 Ορισμός Συντηρητικών Διανυσματικών Πεδίων 739
13.3.2 Τύποι Καμπυλών και Χωρίων 740
13.3.3 Το Θεμελιώδες Θεώρημα των Επικαμπύλιων Ολοκληρωμάτων 741
13.3.4 Ανεξαρτησία από τη Διαδρομή 743
13.3.5 Κριτήριο Ελέγχου για Συντηρητικά Διανυσματικά Πεδία 745
13.3.6 Εύρεση Συναρτήσεων Δυναμικού 746
13.3.7 Συντηρητικά Πεδία στη Φυσική 747
Σύνοψη Βασικών Εννοιών Κεφαλαίου 13 748
Έλεγχος Κατανόησης Εννοιών Κεφαλαίου 13 749
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 13 750
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 13 752
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Εννοιών Κεφαλαίου 13) 753
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων Κεφαλαίου 13) 753
Σύνοψη Κεφαλαίου 13 753
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 754
Διευθύνσεις Διαδικτύου 754
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Το Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα 755

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14
ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ GREEN 757

Σκοπός 757
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 757
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 757
Γνωστικοί Στόχοι 758
Έννοιες-Κλειδιά 758
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 758
Αντικείμενα Μάθησης 758
14.1 Προϋποθέσεις Εφαρμογής του Θεωρήματος του Green 759
14.2 Το Θεώρημα του Green για Απλά Χωρία 761
14.3 Παραδείγματα Θεωρήματος του Green 761
14.4 Εύρεση Εμβαδού Επιφανειών με Επικαμπύλια Ολοκληρώματα 765
14.5 Το Θεώρημα του Green για Μη Απλά Χωρία 766
14.6 Συντηρητικά Διανυσματικά Πεδία και Θεώρημα του Green 768
14.7 Διανυσματικές Εκδοχές του Θεωρήματος του Green 770
14.7.1 Σχέση κυκλοφορίας και στροβιλισμού 771
14.7.2 Σχέση ροής και απόκλισης 773
14.8 Ροϊκή Συνάρτηση 775
Βασικές Έννοιες Κεφαλαίου 14 777
Έλεγχος Κατανόησης Εννοιών Κεφαλαίου 14 778
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 14 779
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 14 781
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 782
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων) 783
Σύνοψη Κεφαλαίου 14 784
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 785
Διευθύνσεις Διαδικτύου 785
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Το Θεώρημα του Green 786

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 787

Σκοπός 787
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 787
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 787
Γνωστικοί Στόχοι 788
Έννοιες-Κλειδιά 788
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 788
Αντικείμενα Μάθησης 789
15.1 Παραμετροποιημένες Επιφάνειες 789
15.1.1 Ορισμός Παραμετροποιημένης Επιφάνειας 790
15.1.2 Εύρεση Παραμετρικών Εξισώσεων Επιφανειών 792
15.1.3 Μεγέθυνση Εμβαδού Παραμετροποιημένης Επιφάνειας 794
15.1.4 Εφαπτόμενα Επίπεδα σε Παραμετροποιημένες Επιφάνειες 797
15.1.5 Εμβαδόν Παραμετροποιημένων Επιφανειών 800
15.2 Επιφανειακά Ολοκληρώματα Βαθμωτών Συναρτήσεων 804
Εφαρμογές 807
15.3 Επιφανειακά Ολοκληρώματα Διανυσματικών Πεδίων 809
15.3.1 Η Έννοια της Ροής Διανυσματικού Πεδίου 809
Το Διάνυσμα του Εμβαδού Επιφάνειας 809
Προσανατολισμός Επιφάνειας 810
Ροή Σταθερού Διανυσματικού Πεδίου Διαμέσου Επίπεδης Επιφάνειας 810
ΕΝΘΕΤΟ 15.1: Φυσική Σημασία της Ροής 811
15.3.2 Υπολογισμός της Ροής Διανυσματικού Πεδίου 812
Προσανατολισμός Επιφάνειας: Μαθηματική Προσέγγιση 812
ΕΝΘΕΤΟ 15.2: Υπολογισμός Μοναδιαίου Κάθετου Διανύσματος 813
Η Ροή ως Επιφανειακό Ολοκλήρωμα 814
Υπολογισμός Επιφανειακού Ολοκληρώματος (Ροής) Διανυσματικού Πεδίου 815
15.3.3 Γραφήματα 815
15.3.4 Παραμετροποιημένες Επιφάνειες 817
Σύνοψη Βασικών Εννοιών Κεφαλαίου 15 818
Έλεγχος Κατανόησης Εννοιών Κεφαλαίου 15 819
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 15 820
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 15 823
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων) 824
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 824
Σύνοψη Κεφαλαίου 15 825
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 826
Διευθύνσεις Διαδικτύου 826
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Το Επιφανειακό Ολοκλήρωμα 827

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ STOKES 829

Σκοπός 829
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 829
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 829
Γνωστικοί Στόχοι 830
Έννοιες-Κλειδιά 830
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 830
Αντικείμενα Μάθησης 830
16.1 Το Θεώρημα του Stokes 831
16.2 Χρήση του Θεωρήματος του Stokes: τρεις τύποι προβλημάτων 833
16.3 Το Θεώρημα Stokes σε Επιφάνεια με Τμηματικά Λείο Σύνορο 836
16.4 Θεώρημα του Stokes και Διανυσματικό Δυναμικό 837
16.5 Θεώρημα του Stokes και Στροβιλισμός 838
16.6 Δύο Τελευταίες Παρατηρήσεις για το Θεώρημα Stokes 840
16.6.1 Το Θεώρημα του Stokes σε κλειστές επιφάνειες 840
16.6.2 Το Θεώρημα του Stokes και τα Συντηρητικά Πεδία 841
Σύνοψη Βασικών Σημείων Κεφαλαίου 16 842
Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου 16 843
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 16 843
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 16 849
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 850
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων) 850
Σύνοψη Κεφαλαίου 16 850
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 851
Εργασίες 851
Διευθύνσεις Διαδικτύου 851
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Το Θεώρημα του Stokes 852

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ 853

Σκοπός 853
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 853
Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων 853
Γνωστικοί Στόχοι 854
Έννοιες-Κλειδιά 854
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 854
Αντικείμενα Μάθησης 854
17.1 Το Θεώρημα της Απόκλισης 855
17.2 Χρήση του Θεωρήματος της Απόκλισης σε Απλά Χωρία 856
17.3 Χρήση του Θεωρήματος της Απόκλισης σε Κοίλα Χωρία 859
17.4 Η Απόκλιση ως Ροή ανά Μονάδα Όγκου 860
17.5 Εφαρμογές του Θεωρήματος της Απόκλισης 863
17.5.1Υδροδυναμική: Εξίσωση Διατήρησης Μάζας 863
17.5.2 Ηλεκτροστατική: Ο Νόμος του Gauss 864
ΕΝΘΕΤΟ 17.1: Τύποι Χωρίων 866
17.6 Απόδειξη του Θεωρήματος της Απόκλισης 867
Σύνοψη Βασικών Εννοιών Κεφαλαίου 17 868
Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου 17 868
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 17 869
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 17 874
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 875
Απαντήσεις (Τεστ Προαπαιτούμενων Γνώσεων) 875
Σύνοψη Κεφαλαίου 17 875
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 876
Εργασίες 876
Διευθύνσεις Διαδικτύου 876
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Το Θεώρημα της Απόκλισης 877


ΜΕΡΟΣ V: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 879

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Ι):
ΠΙΝΑΚΕΣ, ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ, ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 881

18.1 Πίνακες 881
Σκοπός 881
Αντικείμενα Μάθησης 881
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 881
18.1.1 Ορολογία και Συμβολισμός Πινάκων 883
Γνωστικοί Στόχοι 883
Έννοιες-Κλειδιά 18.1.1 883
Πίνακες 883
Κατηγορίες Πινάκων 886
Έλεγχος Κατανόησης 18.1.1 889
Λυμένες Ασκήσεις 18.1.1 889
18.1.2 Άλγεβρα Πινάκων 890
Γνωστικοί Στόχοι 890
Έννοιες-Κλειδιά 18.1.2 890
Πρόσθεση Πινάκων και Πολλαπλασιασμός Πίνακα με Βαθμωτό. 890
Πολλαπλασιασμός Πινάκων 892
Διαφορές Μεταξύ Αλγεβρικών Εξισώσεων και Εξισώσεων Πινάκων 895
Έλεγχος Κατανόησης 18.1.2 Άλγεβρα Πινάκων 895
Λυμένες Ασκήσεις 18.1.2 Άλγεβρα Πινάκων 896
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 18.1) 898
Σύνοψη 18.1 Πίνακες 898
18.2 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων 898
Σκοπός 898
Αντικείμενα Μάθησης 898
18.2.1 Ορολογία Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων 899
Γνωστικοί Στόχοι 899
Έννοιες-Κλειδιά 18.2.1 899
Γραμμική Εξίσωση 899
Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 900
Έλεγχος Κατανόησης 18.2.1 902
Λυμένες Ασκήσεις 18.2.1 902
18.2.2 Στοιχειώδεις Μετασχηματισμοί και Κλιμακωτοί Πίνακες 903
Γνωστικοί Στόχοι 903
Έννοιες-Κλειδιά 18.2.2 903
Στοιχειώδεις Μετασχηματισμοί Γραμμών 904
Κλιμακωτοί και Ανηγμένοι Κλιμακωτοί Πίνακες κατά Γραμμές 906
Τάξη (Βαθμός) Πίνακα 906
Έλεγχος Κατανόησης 18.2.2 909
Λυμένες Ασκήσεις 18.2.2 909
18.2.3 Λύσεις Γραμμικών Συστημάτων: Απαλοιφή Gauss 910
Γνωστικοί Στόχοι 910
Έννοιες-Κλειδιά 18.2.3 910
Απαλοιφή Gauss 910
Απαλοιφή Gauss - Jordan 911
? Σύστημα με Μία Λύση 912
? Σύστημα Χωρίς Λύση 913
? Σύστημα με Άπειρες Λύσεις 914
Ομογενή Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων 917
Έλεγχος Κατανόησης 18.2.3 920
Λυμένες Ασκήσεις 18.2.3 920
18.2.4 Αντίστροφος Τετραγωνικού Πίνακα και ο Υπολογισμός του 921
Γνωστικοί Στόχοι 921
Έννοιες-Κλειδιά 18.2.4 921
Αντίστροφος Πίνακας 922
Ιδιότητες Αντίστροφων Πινάκων 923
Μέθοδος Εύρεσης Αντίστροφου Πίνακα: Απαλοιφή Gauss-Jordan 923
Έλεγχος Κατανόησης 18.2.4 925
Λυμένες Ασκήσεις 18.2.4 925
Λυμένες Ασκήσεις 18.2 926
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 18.2) 928
Σύνοψη 18.2 928
18.3 Ορίζουσες 929
Σκοπός 929
Αντικείμενα Μάθησης 930
Εισαγωγή: Αντιστρέψιμοι 2?2 Πίνακες και Ορίζουσες
18.3.1 Ορίζουσα ενός Τετραγωνικού Πίνακα 931
Γνωστικοί Στόχοι 931
Έννοιες-Κλειδιά 18.3.1 931
Ορισμός και Υπολογισμός 931
ΕΝΘΕΤΟ 18.3.1: Γεωμετρική ερμηνεία των 2?2 και 3?3 οριζουσών: Εμβαδόν και Όγκος 933
Έλεγχος Κατανόησης 18.3.1 934
Λυμένες Ασκήσεις 18.3.1 935
18.3.2 Ανάπτυγμα Συμπαραγόντων 936
Γνωστικοί Στόχοι 936
Έννοιες-Κλειδιά 18.3.2 936
Ελάσσονες και Συμπαράγοντες Πίνακα 936
Η Μέθοδος του Προσαρτημένου Πίνακα για την εύρεση του Α–1 941
Κανόνας του Cramer 942
Έλεγχος Κατανόησης 18.3.2 944
Λυμένες Ασκήσεις 18.3.2 944
18.3.3 Ιδιότητες των Οριζουσών 945
Γνωστικοί Στόχοι 946
Στοιχειώδεις Μετασχηματισμοί Γραμμών 946
Στοιχειώδεις Μετασχηματισμοί Στηλών 947
Έλεγχος Κατανόησης 18.3.3 949
Λυμένες Ασκήσεις 18.3.3 949
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 18.3) 950
Σύνοψη 18.3 950
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 18 Γραμμική Άλγεβρα (Ι) 951
18.4 Διανυσματικοί Χώροι 953
Σκοπός 953
Αντικείμενα Μάθησης 953
18.4.1 Διανυσματικοί Χώροι και Υποχώροι 953
Γνωστικοί Στόχοι 953
Έννοιες-Κλειδιά 18.3.2 954
Ο Διανυσματικός Χώρος ?n 954
Ισότητα διανυσμάτων του χώρου ?n 954
Άθροισμα διανυσμάτων του χώρου ?n 955
Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων του χώρου ?n με πραγματικό αριθμό 955
Πραγματικός Διανυσματικός Χώρος 956
Υπόχωρος Διανυσματικού Χώρου 956
Έλεγχος Κατανόησης 18.4.1 957
18.4.2
Γραμμικοί Συνδυασμοί. Παραγωγή Διανυσματικού Χώρου και Γραμμική Ανεξαρτησία και Εξάρτηση 957
Γνωστικοί Στόχοι 957
Έννοιες-Κλειδιά 18.3.2 958
Γραμμικοί Συνδυασμοί 958
Παραγωγή Διανυσματικού Χώρου 959
Γραμμική Εξάρτηση και Γραμμική Ανεξαρτησία 959
Έλεγχος Κατανόησης 18.4.2 961
18.4.3 Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου 962
Γνωστικοί Στόχοι 962
Έννοιες-Κλειδιά 962
Βάση Διανυσματικού Χώρου 962
Διάσταση Διανυσματικού Χώρου 964
Έλεγχος Κατανόησης 18.4.3 966
18.4.4 Μηδενόχωρος, Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών 966
Γνωστικοί Στόχοι 966
Έννοιες-Κλειδιά 967
Μηδενόχωρος 967
Χώρος Στηλών ενός Πίνακα 968
Χώρος Γραμμών ενός Πίνακα 970
Έλεγχος Κατανόησης 18.4.4 970
Λυμένες Ασκήσεις 18.4 971
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης 18.4) 974
Μη Λυμένες Ασκήσεις 18.4 974
Σύνοψη 18.4 974
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων Ενότητας 18.4 976
Βιβλιογραφικές Πηγές 976

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΙΙ): ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ, ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ 977

Εισαγωγή 977
19.1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 978
Σκοπός 978
Γνωστικοί Στόχοι 978
Έννοιες-Κλειδιά 978
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 978
19.1.1 Υπολογισμός Ιδιοτιμών 979
19.1.2 Υπολογισμός Ιδιοδιανυσμάτων 983
Έλεγχος Κατανόησης 19.1 989
Λυμένες Ασκήσεις 19.1 989
19.2 Ορθογωνιότητα 991
Σκοπός 991
Γνωστικοί Στόχοι 991
Έννοιες-Κλειδιά 991
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 991
19.2.1 Εσωτερικό Γινόμενο και Ορθογωνιότητα 991
Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων του ?n 992
Μήκος διανυσμάτων του ?n 993
Απόσταση μεταξύ διανυσμάτων στο ?n 993
19.2.2 Ορθογώνια και Ορθοκανονικά Σύνολα Διανυσμάτων 993
19.2.3 Ορθογώνιοι Πίνακες 996
19.2.4 Ορθογώνιες Προβολές 999
19.2.5 Η Ορθογωνοποίηση Gram-Schmidt 1002
Έλεγχος Κατανόησης 19.2 1005
Λυμένες Ασκήσεις 19.2 1005
19.3 Ιδιοβάσεις. Ομοιότητα και Διαγωνιοποίηση Πινάκων 1007
Σκοπός 1007
Γνωστικοί Στόχοι 1007
Έννοιες-Κλειδιά 1007
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 1007
19.3.1 Ιδιοβάσεις 1007
19.3.2 Ομοιότητα Πινάκων 1009
19.3.3 Διαγωνιοποίηση Πινάκων 1013
ΕΝΘΕΤΟ 19.1: Διαγώνιος Πίνακας 1013
Έλεγχος Κατανόησης 19.3 1019
Λυμένες Ασκήσεις 19.3 1019
19.4 Ορθογώνια Διαγωνιοποίηση Συμμετρικών Πινάκων 1022
Σκοπός 1022
Γνωστικοί Στόχοι 1022
Έννοιες-Κλειδιά 1022
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 1022
Έλεγχος Κατανόησης 19.4 1031
Λυμένες Ασκήσεις 19.4 1031
19.5 Τετραγωνικές Μορφές 1034
Σκοπός 1034
Γνωστικοί Στόχοι 1034
Έννοιες-Κλειδιά 1034
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 1034
19.5.1 Τετραγωνικές Μορφές 1034
19.5.2 Διαγωνιοποίηση Τετραγωνικών Μορφών με Αλλαγή Μεταβλητής 1036
19.5.3 Γεωμετρική Θεώρηση των Κύριων Αξόνων 1039
19.5.4 Ταξινόμηση Τετραγωνικών Μορφών 1040
Έλεγχος Κατανόησης 19.5 1042
Λυμένες Ασκήσεις 19.5 1042
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 1044
Σύνοψη Κεφαλαίου 19 1044
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 19 1045
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 1047
Διευθύνσεις Διαδικτύου 1047
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Γραμμική Άλγεβρα 1048

ΜΕΡΟΣ VΙ: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1051

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 1053

Σκοπός 1053
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 1053
Γνωστικοί Στόχοι 1053
Έννοιες-Κλειδιά 1054
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 1054
Αντικείμενα Μάθησης 1054
20.1 Βασικές Έννοιες και Ορολογία 1055
20.1.1 Τι είναι Διαφορική Εξίσωση; 1055
20.1.2 Συνήθεις και Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις 1055
20.1.3 Τάξη και Βαθμός Διαφορικής Εξίσωσης 1056
20.1.4 Ομογενείς και Μη Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις 1056
20.1.5 Λύση Διαφορικής Εξίσωσης 1056
20.1.6 Μερική και Γενική Λύση Διαφορικής Εξίσωσης 1057
20.1.7 Συνθήκες και Προβλήματα Αρχικών ή Συνοριακών Τιμών 1057
ΕΝΘΕΤΟ 20.1: Παράδειγμα Δοκιμαστικών Λύσεων 1057
Έλεγχος Κατανόησης 20.1 1058
Λυμένες Ασκήσεις 20.1 1059
Μη Λυμένες Ασκήσεις 20.1 1059
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 20.1) 1060
20.2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 1060
20.2.1 Γεωμετρική Θεώρηση: Πεδία Κλίσης 1060
Ύπαρξη και Μοναδικότητα των Λύσεων 1061
Πεδία Κατεύθυνσης ή Κλίσης 1061
20.2.2 Αριθμητική Προσέγγιση: Η Μέθοδος του Euler 1066
20.2.3 Αναλυτική Προσέγγιση 1070
Ολοκληρώσιμες Διαφορικές Εξισώσεις 1070
Διαχωρίσιμες Διαφορικές Εξισώσεις 1070
Ομογενείς Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 1072
Πλήρεις Διαφορικές Εξισώσεις 1074
Γραμμική Εξίσωση Πρώτης Τάξης 1078
ΕΝΘΕΤΟ 20.2: Οι Εξισώσεις Bernoulli 1081
Αυτόνομες Διαφορικές Εξισώσεις 1082
Λύσεις Ισορροπίας και Ευστάθεια 1085
Βασικές Έννοιες 20.2 1088
Έλεγχος Κατανόησης 20.2 1089
Λυμένες Ασκήσεις 20.2 1089
Μη Λυμένες Ασκήσεις 20.2 1092
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων 20.2 1092
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Ενότητας 20.2) 1092
Σύνοψη Κεφαλαίου 20 1093
Βιβλιογραφικές Πηγές
Διευθύνσεις Διαδικτύου 1094
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ 1095

Σκοπός 1095
Γνωστικοί Στόχοι 1095
Έννοιες-Κλειδιά 1096
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 1096
Αντικείμενα Μάθησης 1096
21.1 Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης 1097
21.2
Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης με Σταθερούς Συντελεστές 1098
21.2.1 Προβλήματα Αρχικών Τιμών 1099
21.2.2 Εύρεση των ριζών r1 και r2 1099
ΕΝΘΕΤΟ 21.1: Μιγαδικοί Αριθμοί: Σύνοψη 1103
21.2.3 Προβλήματα Συνοριακών Τιμών 1106
21.2.4 Η Εξίσωση Cauchy-Euler 1107
21.3
Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης με Σταθερούς Συντελεστές 1109
21.3.1 Η Μέθοδος των Προσδιοριστέων Συντελεστών 1110
21.3.2 Η Μέθοδος της Μεταβολής των Παραμέτρων 1113
21.4 Εφαρμογές των Διαφορικών Εξισώσεων Δεύτερης Τάξης 1117
21.4.1 Αρμονικός Ταλαντωτής 1117
21.4.2 Ελεύθερη Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Τριβή 1117
21.4.3 Απλή Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση 1119
21.4.4 Εξαναγκασμένη Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Τριβή 1122
21.4.5 Συζευγμένες Ταλαντώσεις 1124
ΕΝΘΕΤΟ 21.2: Συστήματα Ομογενών Γραμμικών Πρωτοταξιών Διαφορικών Εξισώσεων 1126
Δύο διακριτές πραγματικές ιδιοτιμές 1127
Μιγαδικές συζυγείς ιδιοτιμές 1128
Επαναλαμβανόμενες πραγματικές ιδιοτιμές 1129
Βασικές Έννοιες Κεφαλαίου 21 1130
Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου 21 1131
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 21 1131
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 21 1133
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 1134
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων Κεφαλαίου 21 1134
Σύνοψη Κεφαλαίου 21 1135
Βιβλιογραφικές Πηγές
Διευθύνσεις Διαδικτύου 1136

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 22
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ:
ΛΥΣΕΙΣ ΜΕ ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 1137

Σκοπός 1137
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 1137
Γνωστικοί Στόχοι 1137
Έννοιες-Κλειδιά 1138
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 1138
Αντικείμενα Μάθησης 1138
22.1 Δυναμοσειρές: Συνοπτική Ανασκόπηση 1139
Τι είναι Δυναμοσειρά; 1139
Σύγκλιση Δυναμοσειράς 1139
Βασικό Θεώρημα Σύγκλισης 1139
Διάστημα σύγκλισης και ακτίνα σύγκλισης δυναμοσειράς 1139
Κριτήριο Σύγκλισης Δυναμοσειράς: Το Κριτήριο του Λόγου 1140
Η Άλγεβρα των Δυναμοσειρών 1141
Ο Λογισμός των Δυναμοσειρών 1142
Μετακίνηση του δείκτη άθροισης 1142
Αναλυτικές Συναρτήσεις και Σειρές Taylor 1143
22.2 Λύσεις με Δυναμοσειρές στην Περιοχή Ομαλού Σημείου 1144
22.3
Λύσεις με Δυναμοσειρές στην Περιοχή Συνήθους Ανώμαλου Σημείου 1150
22.3.1 Η Μέθοδος του Frobenius 1151
Βασικές Έννοιες Κεφαλαίου 22 1155
Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου 22 1156
Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 22 1156
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 22 1161
Απαντήσεις των Μη Λυμένων Ασκήσεων Κεφαλαίου 22 1162
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 1162
Σύνοψη Κεφαλαίου 22 1162
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 1165
Διευθύνσεις Διαδικτύου 1165
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Διαφορικές Εξισώσεις 1167

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 1169

Σκοπός 1169
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 1169
Έννοιες-Κλειδιά 1169
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις 1169
Αντικείμενα Μάθησης 1170
23.1
Μετασχηματισμός Laplace. Γραμμικότητα. Πρώτο Θεώρημα Μετατόπισης 1171
Σκοπός 1171
Γνωστικοί Στόχοι 1171
23.1.1 Ορισμός Μετασχηματισμού Laplace 1171
Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace 1172
Τμηματικά Συνεχείς Συναρτήσεις 1172
Συναρτήσεις Εκθετικής Τάξης 1172
Ύπαρξη Μετασχηματισμού Laplace 1173
23.1.2 Χρήση Πινάκων για τον Υπολογισμό Μετασχηματισμών Laplace 1173
Γραμμικότητα Μετασχηματισμού Laplace 1174
23.1.3 Το Πρώτο Θεώρημα Μετατόπισης 1174
Έλεγχος Κατανόησης 23.1 Μετασχηματισμός Laplace 1175
Λυμένες Ασκήσεις 23.1 Μετασχηματισμός Laplace 1176
23.2
Μετασχηματισμοί Παραγώγων. Διαφορικές Εξισώσεις. Προβλήματα Αρχικής Τιμής 1177
Σκοπός 1177
Γνωστικοί Στόχοι 1177
Μετασχηματισμός Παραγώγων 1177
Έλεγχος Κατανόησης 23.2 Μετασχηματισμοί Παραγώγων 1180
Λυμένες Ασκήσεις 23.2 Μετασχηματισμοί Παραγώγων 1180
23.3
Συναρτήσεις Μοναδιαίου Βήματος. Δεύτερο Θεώρημα Μετατόπισης 1181
Σκοπός 1181
Γνωστικοί Στόχοι 1181
23.3.1 Συνάρτηση Μοναδιαίου Βήματος (Heaviside) 1181
23.3.2 Το Δεύτερο Θεώρημα Μετατόπισης 1184
Έλεγχος Κατανόησης 23.3 Συναρτήσεις Μοναδιαίου Βήματος 1186
Λυμένες Ασκήσεις 23.3 Συναρτήσεις Μοναδιαίου Βήματος 1187
23.4 Περιοδικές Συναρτήσεις. Συνάρτηση Ώθησης 1189
Σκοπός 1189
Γνωστικοί Στόχοι 1189
23.4.1 Περιοδικές Συναρτήσεις 1190
Έλεγχος Κατανόησης 23.4.1 Περιοδικές Συναρτήσεις 1192
Λυμένες Ασκήσεις 23.4.1 Περιοδικές Συναρτήσεις 1192
23.4.2 Συνάρτηση Ώθησης ή Συνάρτηση δ-Dirac 1193
Έλεγχος Κατανόησης 23.4.2 Συνάρτηση Ώθησης 1196
Λυμένη Άσκηση 23.4.2 Συνάρτηση Ώθησης 1197
23.5 Συνέλιξη 1197
Σκοπός 1197
Γνωστικοί Στόχοι 1197
Έλεγχος Κατανόησης 23.5 Συνέλιξη 1199
Λυμένες Ασκήσεις 23.5 Συνέλιξη 1200
Μη Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου 23 1201
Απαντήσεις Μη Λυμένων Ασκήσεων Κεφαλαίου 23 1202
Απαντήσεις (Έλεγχος Κατανόησης Κεφαλαίου) 1202
Σύνοψη Βασικών Εννοιών Κεφαλαίου 23 1202
Σύνοψη Κεφαλαίου 23 1203
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 1204
Διευθύνσεις Διαδικτύου 1204
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Ο Μετασχηματισμός Laplace 1205

ΜΕΡΟΣ VιΙ: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 1207

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π1
Σειρές Fourier: Συνοπτική Παρουσίαση 1209

Σκοπός 1209
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 1209
Γνωστικοί Στόχοι 1209
Έννοιες-Κλειδιά 1210
Εισαγωγή 1210
Π1.1 Σειρές Fourier 1210
Περιοδικές Συναρτήσεις 1210
Τριγωνομετρικές Σειρές Fourier 1211
Συντελεστές Fourier - Τύποι του Euler 1212
Θεμελιώδες Διάστημα - Περιοδική Επέκταση 1212
Νιοστό Μερικό άθροισμα 1214
Σύγκριση σειρών Fourier και σειρών Taylor 1214
Π1.2 Ορθογώνιες Συναρτήσεις 1215
Ορθογωνιότητα 1215
Ορθοκανονικά Συστήματα 1217
ΕΝΘΕΤΟ Π1.1: Χρήσιμα Ολοκληρώματα Περιοδικών Συναρτήσεων 1218
Π1.3 Υπολογισμός των Συντελεστών Fourier 1219
Υπολογισμός του a0 1219
Υπολογισμός των an 1219
Υπολογισμός των bn 1220
Οι Τύποι του Euler 1220
Π1.4 Σειρές Fourier στο διάστημα –L ? x ? L 1221
Π1.5 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις 1222
Π1.6 Σειρές Fourier Άρτιων και Περιττών Συναρτήσεων 1224
Π1.7 Σύγκλιση Σειρών Fourier: οι Συνθήκες του Dirichlet 1226
Π1.8 Μη Περιοδικές Συναρτήσεις: Επεκτάσεις Μισού Διαστήματος 1228
Π1.9 Μιγαδική Παράσταση των Σειρών Fourier 1231
Π1.10
Χρήση των Σειρών Fourier στην Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων 1233
Π1.11
Σειρές Fourier: Φάσματα Συχνότητας και Πλάτους μιας Συνάρτησης 1235
Σύνοψη Παραρτήματος 1 1238
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 1239
Διευθύνσεις Διαδικτύου 1239
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Σειρές Fourier 1240

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2
Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις: Συνοπτική Παρουσίαση 1241

Σκοπός 1241
Προαπαιτούμενες Γνώσεις 1241
Γνωστικοί Στόχοι 1241
Έννοιες-Κλειδιά 1241
Εισαγωγή 1242
Π2.1 Βασικές Έννοιες 1242
Π2.2 Η Εξίσωση του Κύματος σε Μια Διάσταση 1243
Επίλυση με Διαχωρισμό των Μεταβλητών. Χρήση Σειρών Fourier 1244
Π2.3 Η Εξίσωση της Θερμότητας σε Μια Διάσταση 1249
Π2.4 Επίλυση με Διαχωρισμό των Μεταβλητών. Χρήση Σειρών Fourier 1250
Π2.5 Η Εξίσωση του Laplace 1253
Π2.5.1 Προβλήματα Συνοριακών Τιμών 1253
Π2.5.2 Λύση της Εξίσωσης του Laplace σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες 1254
Π2.5.3 Λύση της Εξίσωσης του Laplace σε Πολικές Συντεταγμένες 1257
Σύνοψη Παραρτήματος 2 1260
Βιβλιογραφικές Πηγές
Βιβλία 1261
Διευθύνσεις Διαδικτύου 1261
Ψηφίδες από την Ιστορία των Μαθηματικών: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις 1262

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π3
Μικρό-Βιογραφίες Μεγάλων Μαθηματικών 1265

Γλωσσάρι 1277
Ευρετήριο 1299
Το προϊόν προστέθηκε στο καλάθι σας
 Περιεχόμενα καλαθιού
Δεν έχετε αρκετούς πόντους για να αγοράσετε αυτό το προϊόν!
 Περιεχόμενα καλαθιού
Εmail Αlert
Εάν θέλετε να σας ενημερώσουμε όταν το βιβλίο γίνει διαθέσιμο ή όταν κάποιος συγγραφέας εκδόσει κάποιο νέο βιβλίο, συμπληρώστε το email σας και θα επικοινωνήσουμε μαζί σας.
Παρακαλώ ενημερώστε με,
με email όταν:
 
ο συγγραφέας εκδώσει καινούριο βιβλίο
   
Για να χρησιμοποιήσετε αυτή την υπηρεσία, πρέπει να είστε εγγεγραμμένο μέλος. Για να κάνετε εγγραφή, πατήστε εδώ
Είδατε πρόσφατα
1Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ
€120,00 €108,00
 
 
 
Copyright | Βοήθεια | Όροι χρήσης | Προστασία δεδομένων | Ασφάλεια συναλλαγών | Χάρτης ιστοχώρου | Σύνδεσμοι
Powered by eShopkey
^BACK TO TOP